Monstrous
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Monstrous moonshine

En mathématiques, monstrous moonshine est un terme anglais conçu par John Horton Conway et Simon P. Norton (en) en 1979, utilisé pour décrire la connexion, alors totalement inattendue, entre le groupe Monstre M et les formes modulaires (en particulier la fonction j). Précisément, Conway et Norton, suivant une observation initiale de John McKay, trouvèrent que le développement de Fourier de j ( τ ) {\displaystyle j(\tau )} (suite A000521 de l'OEIS, où τ {\displaystyle \tau } désigne le quotient des demi-périodes (en)) pouvait être exprimé en termes de combinaisons linéaires des dimensions des représentations irréductibles de M (suite A001379 de l'OEIS) j ( τ ) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884~q+21493760~q^{2}+864299970~q^{3}+\cdots } où q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} et 1 = 1 196884 = 196883 + 1 21493760 = 21296876 + 196883 + 1 864299970 = 842609326 + 21296876 + 2 ⋅ 196883 + 2 ⋅ 1 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}1&=1\\196884&=196883+1\\21493760&=21296876+196883+1\\864299970&=842609326+21296876+2\cdot 196883+2\cdot 1\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}} Conway et Norton formulèrent des conjectures concernant les fonctions j g ( q ) {\displaystyle j_{g}({q})} obtenues en remplaçant les traces sur l'élément neutre par les traces sur d'autres éléments g de M. La partie la plus saisissante de ces conjectures est que toutes ces fonctions sont de genre zéro. En d'autres termes, si G g {\displaystyle G_{g}} est le sous-groupe de SL2( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) qui fixe j g ( q ) {\displaystyle j_{g}(q)} , alors le quotient du demi-plan supérieur du plan complexe par G g {\displaystyle G_{g}} est une sphère privée d'un nombre fini de points, correspondant aux formes paraboliques de G g {\displaystyle G_{g}} . Il s'avère que derrière monstrous moonshine se trouve une certaine théorie des cordes ayant le groupe Monstre comme groupe de symétries ; les conjectures faites par Conway et Norton furent démontrées par Richard Ewen Borcherds en 1992 en utilisant le théorème de Goddard-Thorn (en) issu de la théorie des cordes, ainsi que la théorie des algèbres vertex et des algèbres de Kac-Moody généralisées (en). Borcherds reçut la médaille Fields pour son travail, et des connexions supplémentaires entre M et la fonction j furent découvertes ultérieurement.

Synopsis

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